本文来自微信民众号：中科院物理所（ID：cas-iop），作者：Patrick Honner，翻译：C&C，审校：Dannis，头图来自：《银河系周游指南》

若是我们生涯在一个立方体形状的地球上，你该怎么找到环球旅行的最短路径呢？

一直走啊走——测地线

你有没有想过，若是地球的形状不是球形，生涯会是什么样子？我们总是把太阳系的平稳运行和行星旋转对称所带来的缓慢而平稳的日落看成是天经地义的。球形的地球也让我们很容易找到从A点到B点的最短路径：沿着经由这两点并把球体切成两半的圆弧移动。我们使用这些称为测地线的最短路径来设计飞机门路和卫星轨道。

但若是我们住在一个立方体上呢？我们的天下将加倍摇摆不定，我们的视野将变得弯曲，最短路径也将更难找到。你可能不会花许多时间想象立方体上的生涯，但数学家们会：他们研究在种种形状的星球上的旅行是什么样子的。最近一项关于在十二面体上往返旅行的发现改变了我们几千年来考察物体的方式。

在给定形状上找到最短的往返门路似乎很简朴，只需要选择一个偏向并沿着直线一直走下去，最终你会回到起点，对吧？然而，这取决于你在什么形状的物体外面旅行。若是是球体，OK没问题。（我们这里忽略了这样一个事实：地球不是一个完善的球体，它的外面也不完全是滑腻的。）在球体上，径直路径是沿着“大圆弧”，也就是像赤道一样的测地线。若是你绕赤道走一圈，约莫2.5万英里后，你会绕完一圈，最后恰好回到起点。

在一个立方体的天下里，测地线就不那么显著了。在单独一个面上很容易能找到一条径直路径，由于每个面都是平的。但若是你在一个立方体的天下里行走，当你到达边缘时，你若何继续“直”走呢?

立方体上的蚂蚁

有一个有趣的古老数学问题回覆了我们的疑问。若是在立方体的一个角落有只蚂蚁，而它想要到达另一个角落。那么立方体外面上从A到B的最短路径是什么？

你可以想象出蚂蚁可以选择的许多差别的路径。

泉源：Samuel Velasco/Quanta Magazine

然则哪一条路径最短呢？有一种巧妙的方式可以解决这个问题。我们把立方体压平！

若是立方体是纸做的，你可以沿着边缘剪开，然后把它压平，获得一个像这样的“格网”。

在这个平展的天下里，从A到B的最短路径很容易找到：只需要在它们之间画一条直线。

为了看看我们的立方体天下的测地线是什么样的，只要把立方体重新拼在一起。这就是我们的最短路径。

将立方体展平是可行的，由于立方体的每个面自己都是平的，以是当我们沿着边睁开时，没有什么会被扭曲。（类似这样“睁开”一个球体的实验却是行不通的，由于我们无法在不扭曲它的前提下将其展平。)

现在，我们已经对立方体上的径直路径有了一定的领会，让我们重新考虑一下我们是否可以沿着任何一条径直路径行走，而且最终回到起点。显然，与在球体上行走差别，在立方体上并不是每条径直路径都能够往返走个往返。

往返的路径是存在的——然则有一个条件。注重，蚂蚁可以沿着我们上面绘制的路径继续前进，并最终回到它最先的地方。在一个立方体上，绕一圈后发生的路径看起来更像一个菱形。

沿着这条往返路径，蚂蚁必须经由另一个极点（点B），之后才气回到起点。这就是问题所在：每条从同一个极点最先和竣事的径直路径都必须经由立方体的另一个极点。

翻腾吧，路径

上面的结论对于5个正多面体（Platonic solids，也称柏拉图多面体）中的4个是确立的。在立方体、正四周体、正八面体和正二十面体上，任何从同一个极点最先和竣事的径直门路都必须经由另一个极点。数学家们五年前就证明了这一点，但正十二面体并没有位列其中。我们稍后再讲这个。

为了明白为什么对于5个正多面体中的4个而言，这个有关测地线的事实是准确的，我们将接纳“翻腾”的方式来研究这些路径，我们将切换到一个四周体天下，这样能更容易研究翻腾的路径。

假设从一个四周体的极点出发，沿着一个面沿着一条直线前进。我们确定一下四周体的偏向，划定路径从底面最先。

当我们遇到一条边的时刻，我们会把这个四周体“翻转”过来，这样我们的路径就会继续保持在底部的面上：

这张翻转的图表给了我们提供了一种追踪路径的方式，就像我们在立方体的格网上做的那样：

上面的翻腾路径代表了四周体外面的路径：

这里四周体的五次翻腾对应于路径穿过的分外的五个面。

现在我们可以把四周体外面上的任何路径想象成这个翻腾空间中的路径。我们称起点为点A，看看这个点经由一些翻转后，最终落在那里。

当我们的路径脱离A时，四周体就会滚到另一边。这会让A脱离地面。

极点A暂时悬浮在翻腾空间中。在确立翻腾空间时，我们通常不会指明点A的位置，但若是我们向下看的话，它就会出现在这里。

随着路径的继续延伸，四周体再次翻腾。它可能有两个偏向，但任何一个偏向A都市回到地面。

当我们让这个四周体向每个可能的偏向翻腾时，我们最终获得一个像这样的翻腾空间:

四周体的等边三角形面组合在一起组织了一个网格系统。

这个网格系统告诉我们关于翻腾空间的两件有趣的事情。第一，四周体的极点能落到的点都是“格点”，或者说是具有整数坐标的点。这是由于坐标系中的一个单元是四周体的一条边长。

第二，我们来看看A点最后会到那里。A的坐标总是偶数。当A在底面上时，它将在两次翻腾后回到地面，以是点A在每个翻腾偏向上可能的着陆点都距离两个边缘长度。

现在我们来看看这对测地线来说意味着什么。回忆一下，四周体上以点A为起止点的路径在翻腾空间中都是在(0,0)处的A点最先，在另一个A点竣事的直线段。而且当路径的起止点都是A点时，这些路径的中点会存在一些很有趣征象。

纵然在弯曲坐标系中，尺度中点公式仍然确立，因此我们可以对端点坐标求平均值来获得中点的坐标。由于起点的坐标都是0，终点的坐标都是偶数，以是中点的坐标都是整数。这意味着中点都是格点，因此正如我们在前面考察到的，它对应于翻腾空间中三角形的极点。

例如，从(0,0)到(4,2)的路径的中点(2,1)，这是网格中的一个格点。

这意味着在四周体的外面上，这条从A到自身的路径必须经由另一个极点。

由于在这个系统中A的每个可能的着陆点都有偶数坐标，以是以A为起止点的每条测地线路径的中点都对应一个格点。这注释四周体外面上从A到A的每一条测地线都必须经由另一个极点。

这是在2015年数学家戴安娜·戴维斯（Diana Davis）、维克多·多兹（Victor Dods）、辛西娅·特劳布（Cynthia Traub）和杰德·杨（Jed Yang）所给出的严酷的论证的一个简朴版本。他们用了一个相似但加倍庞大的历程论证了同样的情形对于立方体也确立。在第二年德米特里·富克斯（Dmitry Fuchs）证明了这一效果对于正八面体和正二十面体同样确立。正因如此，我们知道对于正四周体，立方体，正八面体和正二十面体而言，不存在以某个极点为起止点但不经由另一个极点的径直门路。

但在2019年之前，正十二面体外面是否存在这样的路径一直是一个悬而未决的问题，直到数学家贾亚德夫·阿特里亚（Jayadev athrya）、大卫·奥利奇诺（David Aulicino）和帕特里克·胡珀（Patrick Hooper）证明了这实际上是可能的。事实上，他们在十二面体的外面上发现了无限多条以某个极点为起止点但不经由其他极点的径直门路。

这是一条在十二面体的网格上显而易见的径直门路。

几千年来，人们一直把正多面体放在一起讨论研究，由于它们有许多共同之处。但现在我们对正十二面体有了新的熟悉，这显然是差别的。这个难以想象的发现注释，无论我们对数学工具的明白有多透彻，总有更多的器械需要学习。它还注释，从问题到解决方案的路径并不总是像一条直线。

下面给人人几个小演习：

1. 若是立方体的边长为1，蚂蚁从极点到相对极点的最短路径是多长?

路径是一个直角边长分别为1和2的直角三角形的斜边。通过勾股定理可以盘算获得AB长度为。

2. 注释为什么下面的图表不能是立方体上的路径的翻腾路径。

若是一条路径要求立方体先向右翻转两次，那么它的“斜率”最多是每向上移动一个立方体边长并向右移动两个立方体边长。在第一次翻腾之后，这条路径所能到达的最高位置是侧边的一半（1.5倍立方体边长），而这也要求下一次翻腾是向右的。这让我们对为什么立方体的翻腾路径比正四周体的更庞大有了一些领会。

3. 立方体的翻转路径的一个庞大之处在于，点A并没有一个唯一的端点位置与立方体上的给定端点位置相关联。

例如，纵然立方体最终沿着红色或蓝色路径移动到相同的位置，点A最终也会处于差别的位置。请你确定一下A沿着红色路径和蓝色路径翻转后的终点在那里。

用魔方或骰子来演出是很有辅助的。还要注重的是，蓝色的路径不能是立方体上路径的翻腾路径。

4.这是立方体路径的一个有用的翻腾路径。画出从A最先的立方体外面上的路径。

原文链接：

https://www.quantamagazine.org/the-crooked-geometry-of-round-trips-20210113/

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