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华宇娱乐登录测速_这个困扰数学界数十年的难题

现代最伟大的数学家之一约翰·霍顿·康威(John Horton Conway)于今年4月11日在普林斯顿逝世。就像其他一些伟大的数学家,他也留下了著名的难题。他在半个多世纪前发现的康威扭结引发的一个拓扑学难题——康威扭结是否为更高维结构的切片——就难倒了无数数学家。但最近,这个难题却被一位博士生用一周的业余时间解决了。


本文来自微信民众号:全球科学(ID:huanqiukexue),作者:Erica Klarreich,翻译:石云雷,编辑:吴非,头图来自:Ian MacLellan for Quanta Magazine


康威扭结的切片问题,困扰了数学家几十年的时间,却在莉萨·皮奇里洛(Lisa Piccirillo)的证实下迎刃而解。皮奇里洛是若何做到的?这还要从2018年提及。


那年炎天,她在一个低纬度拓扑学和几何学集会上,领会到这一有趣的数学问题。那时,皮奇里洛还没有意识到这是一个著名的难题,只是以为它或许能用来测试她在得克萨斯大学读研究生时开发的工具。


皮奇里洛示意:“我并没有用日间的事情时间去解决这个问题,也没有把它看作真正的数学问题,更像是把它看成家庭作业。”


在一周之内,皮奇里洛就获得了个谜底:康威扭结不是高维空间扭结的切片(slice)。数天后,她遇到了得克萨斯大学奥斯汀分校的教授卡梅伦·戈登(Cameron Gordon),并简朴地提及了她的解决方式。戈登回忆说:“那时我说,‘什么?.....那你应该马上把论文发到《数学年刊》。’”这是数学领域的顶级期刊之一。


现在,皮奇里洛已是布兰迪斯大学的博士后,她回忆起那时的场景:“他最先叫嚷道,‘为什么你一点也不兴奋?’他有点兴奋过头。”但戈登说:“我想说她并没有意识到这是一个何等古老、经典的难题。”


今年2月,《数学年刊》揭晓了皮奇里洛的证实。仅在完成博士学位仅仅一年后,皮奇里洛通过这篇论文和其他研究事情,获得了麻省理工学院的终生教职。


四维空间中的扭结理论


说到扭结,大多数人会想到在一根有两头的绳子上打的结,而数学家思量的则是绳子的两头连在一起的情形,这时扭结就无法解开了。在已往的一个世纪里,这些扭结已经辅助科学家注释了从量子物理学到DNA结构,以及三维空间的拓扑结构等一系列问题。


若是将时间算在内,我们的天下是四维的。因此,我们很自然地会想到一个问题:四维空间里是否存在响应的扭结理论?这不仅仅是将三维空间里的扭结放在四维空间里这么简朴,还需要解决的一个问题是,在四维空间中,若是绳结在第四个维度上相遇,这时扭结就会解开。


最早在20世纪20年代,数学家就建立了这一理论:为了在四维空间制造一个扭结,你需要一个二维的球面,而不是一个一维的环。正如三维空间能为构建打结的环提供足够的空间,但不足以让扭结解开,四维空间中,打结的球面也是云云。


四维空间中打结的球面是什么样的?要想象这样的画面似乎很难,为了辅助我们明白,让我们首先思量三维空间中的通俗球面。穿过这个球面,你将看到一个没有打结的环。但当你在四维空间穿过一个打结的球面时,你看到的可能是一个打结的环。(凭据切割的位点,你还可能看到一个未打结的环,或几个毗邻在一起的环)穿过打结的球面制造出来的扭结,就被以为是“切片”(slice)。另一些扭结不属于切片,例如三叶结。切片扭结成为毗邻三维空间和四维空间中扭结理论的桥梁。


然则,一个特征让四维空间中的扭结具有丰富性和独特性。在四维拓扑学中,存在两种差别的切片扭结。在20世纪80年代早期,随着一系列革命性理论的生长,数学家发现四维空间不仅含有最初发现的滑腻球面,也包罗含有种种皱褶的非滑腻球面。而扭结是否是切片还取决于,是否选择包罗这些皱褶的球面。莱斯大学的谢利·哈维(Shelly Harvey)说:“有一些稀奇新鲜的物体,就像是由邪术发生的。”


这些新鲜的球面并不是四维拓扑学的bug,而是一种主要特征。这些扭结是“拓扑的切片”而不是“滑腻的切片”,这也意味着它们是一些褶皱球面的切片。这也让数学家建立了通俗四维空间的特殊版本。从拓扑学的角度来看,它们看上去和通俗的空间相同,但不可避免地存在皱褶。这些奇异空间的存在,能将第4个维度与其他的维度离开。


数十年的难题


20世纪50年代,约翰·康威在青少年时,就对扭结发生了兴趣。他接纳一种简朴的方式,列出了所有含有11个交织的扭结(在此之前,数学家还只能完整地列出含有10个交织的扭结)。在这些扭结中,有一个十分突出。波士顿大学的乔舒亚·格林(Joshua Greene)说:“我以为康威那时就意识到了这一扭结的特殊之处。”


而这一扭结引发的难题——康威扭结是否为更高维扭结的切片,困扰了数学家长达数十年的时间。“切片”是扭结理论学家针对高维空间中的扭结,首先自然想到的多个问题之一。


格林示意,切片问题并不是这些新鲜的四维空间的“最低维度的探测器”。近些年来,数学家发现了多种属于拓扑切片,而不是滑腻切片的扭结。数学家已经证实了险些所有含有不跨越12个交织的扭结的切片状态,但唯一的破例,就是康威扭结


当康威扭结作为一种拓扑切片扭结而为人熟知时,20世纪80年代的数学家意识到,这一结构中蕴含着一些革命性的发现。他们无法计算出这种切片扭结是不是滑腻的,但他们的推测谜底是否认的,由于这一扭结缺乏传统的滑腻扭结均具有的“ribbonness”结构。但问题并没有这么简朴,它的另一个特征却令数学家无法证实它不是滑腻的切片扭结。


康威扭结另有一系列的变体。若是你在纸上画一个康威扭结,剪下其中特定的一部门再将其翻转,然后将断开的结点相连,你将会获得另一种很著名的扭结——Kinoshita-Terasaka扭结


康威扭结和Kinoshita-Terasaka扭结互为变体结构。这也意味着,你能够通过翻转红色矩形框中的部门扭结,实现两者的转化。


但问题是,这种新的扭结正好为一种滑腻的切片。只管康威扭结云云靠近一个滑腻的切片扭结,但它险些躲开了所有数学家用来检测费滑腻扭结的工具(扭结不变量)。皮奇里洛示意,康威扭结就像是同时位于这些多个扭结不变量的盲区。


杨百翰大学的数学家马克·休斯(Mark Hughes)缔造了一个类似神经系统的网络结构,行使扭结不变量和其他信息,展望扭结的切片等特征。对于大多数扭结,这一结构均能做出清晰的展望,但它对康威结构的判断是:属于滑腻的切片结构的概率是50%。印第安纳大学声誉教授查尔斯·利文斯顿(Charles Livingston)说:“很长时间以来,它都是我们无法解决的扭结。”


“有点古老”的解决方式


皮奇里洛喜欢扭结理论赋予的视觉直觉,但她并不以为自己是个扭结理论学家。她说:“我对三维和四维的形状具有很大的兴趣。由于这些形状的研究与扭结理论慎密相连,以是我也做了一些相关研究。”


皮奇里洛遇到康威扭结的切片问题时,她正在思量除变体之外,若何通过另一种形式将两个扭结联系起来。每个扭结都有一个相关联的四维形状,称作扭结的(trace),它是将扭结放置在四维球面的界限上,顺着扭结的位置获得的结构。


差别的扭结能拥有相同的四维迹,当数学家领会这些扭结的迹时,他们可以推测它们具有相同的切片状态——要么都是切片,要么都不是。但皮奇里洛和莱斯大学的博士后艾利森·米勒(Allison Miller)已经发现,对于所有用于研究切片的扭结不变量,这些相似的迹并不需要看起来一样。


受此启发,皮奇里洛想出了一个计谋,来证实康威扭结并不是切片。若是她能构建一个与康威扭结构的迹相似的迹,相比于康威扭结,这一迹或能与一个切片不变量更相符。


皮奇里洛想设计了一种和康威扭结具有相同“迹”的扭结,并行使这个新扭结证实了康威扭结不平滑。


构建相近的迹是一项棘手的事情,但皮奇里洛是这方面的专家。“这就像我正在从事的事情,”她说,“以是我回家立刻最先举行这项研究。”


皮奇里洛乐成构建出一个庞大的扭结,它具有类似康威扭结的迹。而这一扭结已经被Rasmussen不变量证实,是一个非切片扭结。因此,皮奇里洛证实康威扭结也不是切片扭结


“这是一个异常优美的证实。之前数学家很少以为皮奇里洛构建的扭结,能通过 Rasmussen不变量证实,”戈登说,“因此,这一效果确实有点让人惊讶。”


格林说,扭结迹作为一种经典的工具,已使用了数十年的时间,但皮奇里洛无疑比其他人更领会这种工具。她的研究事情显示,拓扑学家对扭结迹另有待进一步研究。他说:“她选择了已被科学家弃置了一段时间的工具,但现在其他人已经在追随这种研究方式了。”


原文链接:

https://www.quantamagazine.org/graduate-student-solves-decades-old-conway-knot-problem-20200519/


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