本文来自微信民众号：原理（ID：principia1687），作者：佐佑，头图来自：wikimedia

四周体是最简朴的多面体，在漫长的岁月里，这种看似简朴的三维形状延伸出了许多能引发那些伟大头脑为之苦思的问题。2020年11月，四名数学家在学术预印网站arXiv上提交了一篇长达30页的论文，他们用数论方式证实了一个与四周体有关的古老问题。

一

这个问题最早可追溯到2000多年前的柏拉图与亚里士多德，它旨在确定能够完善填充（或者说“密铺”）三维空间的多面体。柏拉图以为，天下是由水、气、火、土和以太这5种“物质”组成的，每种“物质”都与一种特定的多面体形状对应，这些有着相等边长的三维形状厥后被成为柏拉图多面体。

 柏拉图用正多面体来界说古老元素：立方体（土）、正二十面体（水）、正八面体（气）、正四周体（火）、正十二面体（以太）。| 图片泉源：Wikipedia

然则，柏拉图的学生亚里士多德并不认同这种假设，他以为若是天下果真是由这些物质组成的，那么这些与之对应的形状必须能够完全填充空间才对。他以为，虽然与土和火对应的立方体和正四周体可以铺满空间，但与水和气对应的正二十面体和正八面体是无法做到这一点的。

固然，亚里士多德在这个问题上的判断也不完全准确。自15世纪起，就有科学家就最先质疑正四周体可填充空间的可能性。17世纪的科学家已经确认正四周体无法做到这一点。这实在很容易被证实，你只需将若干个正四周体模子边对边的摆放好，就会发现在五个正四周体之内，必然会泛起一个无法填补的缺口。

事实上，大多数三维形状都无法密铺空间。那么，一个新的问题产生了：若是正四周体无法密铺空间，其他四周体能做到吗？

二

谜底是一定的。1923年，数学家Duncan Sommerville证实了第一个可以密铺空间的四周体。那么，这样的四周体有多少个呢？然而，寻找这样的四周体是异常难题的。但幸亏数学家发现，寻找可密铺三维空间的四周体问题，与另外两个问题有关。

第一个问题是大卫·希尔伯特（David Hilbert）在1900年提出的23个问题的第三问：对于随便两个等体积的多面体，是否总能将其中一个多面体切割成有限多个多面体，再重组成另一个多面体？

  铰剪全等的二维示例：拥有相同面积的二维多边形是铰剪全等的。| 图片参考泉源：QuantaMagazine

换种说法，这个问题可被表述为：是否任何一对具有相同体积的多面体，都是铰剪全等的？一个形状与另一个形状铰剪全等，指的就是其中一个可以通过直线切割，重组成另一个形状。

同年，马克斯·德恩（Max Dehn）为解答这个问题提出了一个要害观点，他证实了这个问题与多面体的角度和边长有关。他发现，从多面体的角度可以计算出一个现在被称为德恩不变量的量，当两个形状铰剪全等时，那么它们的德恩不变量必须相等。

 三维形状的铰剪全等需要两个形状体积相同，且德恩不变量也相同。图中所示的是有着相同体积的正四周体和立方体，但它们不是铰剪全等的，由于它们具有差别的德恩不变量。| 图片参考泉源：Wikipedia Commons

1980年，Hans Debrunner证实了任何可能密铺空间的四周体，其德恩不变量都必须与立方体一样——即是0。这意味着与立方体铰剪全等的四周体才有可能密铺空间。而数学家们继而发现，与立方体铰剪全等的那类四周体，其所有二面角的度数均为有理数。

到这里，另一个与之相关的问题也泛起了。

1976年，约翰·康威（John H. Conway）和安东尼娅·琼斯（Antonia JJones）揭晓了一篇论文，在论文中他们提出了这样一个问题：是否有可能识别出所有其二面角的度数所有为有理数的四周体？

他们想到可以通过求解一个特定的多项式方程来寻找这种有理四周体。他们的方程中存在六个变量，对应于一个四周体的6个二面角；它有105项，反映的是这6个二面角之间的相互关系。这个多项式方程有无限多个解，对应着无限多个差别的四周体构型。

 一个四周体具有6个二面角。| 图片泉源：Wikipedia Commons

康威和琼斯以为，要通过求解方程找到所有二面角都为有理度数的解，必须找到方程的一类与有理四周体完全对应的特殊解。但他们并不知道应该若何做到这一点。

三

1995年，数学家Bjorn Poonen、Michael Rubinstein以及其他数学家通过计算机，搜索并发现了这些特殊的有理四周体。他们的结果表明，知足这些条件的四周体有59个，加上两个无限族中的四周体。无限族中的四周体都具有一个可以被无限调整的角度参数，使这些四周体不管履历了怎样的调整都能维持密铺空间的能力。

然则，Poonen等人无法证实已找到的这些四周体就是所有能够密铺空间的四周体。直到现在，4位数学家在一篇新论文中说明的方式，证实了25年前所发现的就是所有的有理四周体，不存在尚未被发现的其他例子。

在新研究所提供的方式中，数学家首先证实了谁人用来示意四周体的庞大多项式方程可以被表述成许多更简朴的多项式。他们将一个庞大的6变量方程转变成为了数百个相对简朴的方程，并对这些方程举行求解。接着，他们凭据对方程解的一些性子的预判，在求解历程举行了更有针对性的设置，从而得到了一个能够快速高效地搜索方程解的算法。

最终，他们找到的正是那59个自力的四周体，以及两个无限族的四周体。而且，这些具有有理二面角的四周体都有一个为零的德恩不变量，这意味着它们都与立方体铰剪全等，有可能密铺空间。

现在，麻省理工学院的一群本科生们在继续研究这个问题，他们试图找出其中的哪些能做到三维密铺。2021年1月，他们找到了一个反例，证实了其中一个自力的有理四周体不能密铺空间，这是数学家首次发现的一个与立方体铰剪全等，但又不能密铺空间的四周体例子。

#参考泉源：

https://www.quantamagazine.org/mit-math-students-continue-aristotles-tetrahedra-tiling-20210209/

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-finally-prove-rational-tetrahedron-solutions-20210202/

http://www-math.mit.edu/~poonen/papers/press_release.pdf

https://arxiv.org/pdf/2011.14232.pdf

本文来自微信民众号：原理（ID：principia1687），作者：佐佑